Question

已知拋物線C：y²=x．命題p：直線l₁：y=kx+1與拋物線C有公共點(diǎn)．命題q：直線l₂：y=k（x-

1

4

）被拋物線C所截得的線段長(zhǎng)大于2．若p∧q為假，p∨q為真，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：分別判斷命題p，q的真假，根據(jù)復(fù)合命題之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：若p為真，聯(lián)立C和l₁的方程化簡(jiǎn)得k²x+（2k-1）x+1=0．k=0時(shí)，方程顯然有解；
k≠0時(shí)，由△≥0得k≤

1

4

且k≠0．綜上k≤

1

4

，
若q為真，聯(lián)立C和l₂的方程化簡(jiǎn)得k2x2-(

k2

2

+1)x+

k2

16

=0，k=0時(shí)顯然不成立；
∴x1+x2=

1

2

+

1

k2

，
由于l₂是拋物線的焦點(diǎn)弦，故|AB|=x1+x2+p=1+

1

k2

＞2，解得-1＜k＜1且k≠0．
∵若p∧q為假，p∨q為真，∴p，q一真一假．
若p真q假，則k≤-1或k=0； 若q真p假，則

1

4

＜k＜1．
綜上k≤-1或k=0或

1

4

＜k＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合命題的真假應(yīng)用，分別判斷命題p，q的真假是解決本題的關(guān)鍵．