Question

已知{a_n}為正項等比數列，a₂=3，a₆=243，S_n為等差數列{b_n}的前n項和，b₁=3，S₅=35．
（1）求{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）設T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，求T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的通項公式,等比數列的通項公式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用正項等比數列的性質，結合已知條件列出方程組，求出首項和公比，由此能求出an=3n-1．利用等差數列的前n項和公式由已知條件求出公差，由此能求出等差數列{b_n}的通項公式．
（2）由（1）知a_nb_n=（2n+1）•3^n-1，由此利用錯位相減法能求出T_n=n•3ⁿ．

解答： 解：（1）∵{a_n}為正項等比數列，a₂=3，a₆=243，
∴

a1q=3 a1q5=243

，解得a₁=1，q=3，或a₁=-1，q=-3（舍），
∴an=3n-1．
∵S_n為等差數列{b_n}的前n項和，b₁=3，S₅=35，
∴5×3+

5×4

2

d=35，解得d=2，
∴b_n=3+（n-1）×2=2n+1．
（2）由（1）知a_nb_n=（2n+1）•3^n-1，
∴T_n=3+5×3+7×3²+9×3³+…+（2n+1）×3^n-1，①
3T_n=3×3+5×3²+7×3³+9×3⁴+…+（2n+1）×3ⁿ．②
①-②，得-2T_n=3+2（3+3²+3³+3⁴+…+3^n-1）-（2n+1）×3ⁿ
=3+2×

3(1-3n-1)

1-3

-（2n+1）×3ⁿ
=-2n×3ⁿ，
∴T_n=n•3ⁿ．

點評：本題考查數列的通項公式和前n項和公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．