Question

已知函數f（x）=axlnx（a∈R）在x=e處的切線斜率為2．
（1）求f（x）的最小值；
（2）設A（x₁，f（x₁））與B（x₂，f（x₂））（x₁＜x₂）是函數y=f（x）圖象上的兩點，直線AB的斜率為k，函數f（x）的導函數為f′（x），若存在x₀＞0，使f′（x₀）=k．求證：x₂＞x₀．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）由f′（e）=2可得a，利用導數即可求得最小值；
（2）利用斜率公式、導數可表示f′（x₀）=k，分離出lnx₀，作差lnx₂-lnx₀，通過構造函數借助導數可得差的符號，從而得到結論；

解答： 解：（1）f′（x）=a（lnx+1），
由題意，得f′（e）=2，即2a=2，
∴a=1．
當0＜x＜

1

e

時，f′（x）＜0，f（x）遞減；當x＞

1

e

時，f′（x）＞0，f（x）遞增．
∴f(x)min=f(

1

e

)=-

1

e

；
（2）k=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

x1lnx1-x2lnx2

x1-x2

，f′(x0)=1+lnx0，
由f′(x0)=k⇒

x1lnx1-x2lnx2

x1-x2

=1+lnx0⇒lnx0=

x1lnx1-x2lnx2

x1-x2

-1，
∴lnx2-lnx0=lnx2+1-

x1lnx1-x2lnx2

x1-x2

=

x1(lnx2-lnx1)+x1-x2

x1-x2

=

ln x2 x1 +1- x2 x1

1- x2 x1

，
令

x2

x1

=t(t＞1)，則lnx2-lnx0=

lnt+1-t

1-t

(t＞1)，
設g（t）=lnt+1-t（t＞1），
∴g′(t)=

1

t

-1=

1-t

t

＜0，g（t）在（1，+∞）上是減函數，
∴g（t）＜g（1）=0，
又1-t＜0，
∴

lnt+1-t

1-t

＞0，即lnx₂-lnx₀＞0，從而x₂＞x₀．

點評：該題考查導數的幾何意義、利用導數研究函數的最值及斜率公式，解決（2）問的關鍵是合理變形，靈活構造函數．