Question

設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點M(

2

，1)，且左焦點為F1(-

2

，0)
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）當過點P（4，1）的動直線l與橢圓C相交于兩不同點A，B時，在線段AB上取點Q，滿足|

AP

|•|

QB

|=|

AQ

|•|

PB

|，證明：點Q總在某定直線上．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過橢圓焦點坐標知c=

2

，且有a²=b²+c²，又點M的坐標滿足橢圓方程，則列方程組解之即可；
（Ⅱ）欲證點Q總在某定直線上，所以先設點Q的坐標為變量（x，y），點A、B的坐標分別為參數（x₁，y₁）、（x₂，y₂），然后根據已知條件可變形得

| AP |

| PB |

=

| AQ |

| QB |

，設其比值為λ則有

AP

=-λ

PB

、

AQ

=λ

QB

，此時利用定比分點定理可得A、B、P三點橫坐標關系及縱坐標關系，同時可得A、B、Q三點橫坐標關系及縱坐標關系，又因為點A、B的坐標滿足橢圓方程，則有x₁²+2y₁²=4，x₂²+2y₂²=4，再利用已得關系式構造x₁²+2y₁²與x₂²+2y₂²則可整體替換為4，同時消去參數λ，最后得到變量x、y的關系式，則問題得證．

解答：解：（Ⅰ）由題意得

c2=2 2 a2 + 1 b2 =1 c2=a2-b2

，
解得a²=4，b²=2，
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．

（Ⅱ）設點Q、A、B的坐標分別為（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
由題設知|

AP

|，|

PB

|，|

AQ

|，|

QB

|均不為零，記λ=

| AP |

| PB |

=

| AQ |

| QB |

，則λ＞0且λ≠1
又A，P，B，Q四點共線，從而

AP

=-λ

PB

，

AQ

=λ

QB

于是4=

x1-λx2

1-λ

，1=

y1-λy2

1-λ

，x=

x1+λx2

1+λ

，y=

y1+λy2

1+λ

從而

x 2 1 -λ2 x 2 2

1-λ2

=4x①，

y 2 1 -λ2 y 2 2

1-λ2

=y②，
又點A、B在橢圓C上，即x₁²+2y₁²=4 ③，x₂²+2y₂²=4 ④，
①+②×2并結合③、④得4x+2y=4，
即點Q（x，y）總在定直線2x+y-2=0上．

點評：本題綜合考查橢圓性質與定比分點定理，同時考查構造消元處理方程組的能力．