Question

設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左．右焦點分別為F₁F₂，上頂點為A，過點A與AF₂垂直的直線交x軸負半軸于點Q，且2

F1F2

+

F2Q

=

0

．
（1）若過A．Q．F₂三點的圓恰好與直線l：x-

3

y-3=0相切，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，過右焦點F₂作斜率為k的直線l與橢圓C交于M．N兩點．試證明：

1

|F2M|

+

1

|F2N|

為定值；②在x軸上是否存在點P（m，0）使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍，如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由2

F1F2

+

F2Q

=

0

知：F₁為F₂Q中點．由

.

F2A

⊥

AQ

，知F₁為△AQF₂的外接圓圓心，由此能求出橢圓方程．
（2）①由F₂（1，0），知y=k（x-1），

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，代入得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由根與系數的關系知

1

|F2M|

+

1

|F2N|

為定值

4

3

．
②由y₁+y₂=k（x₁+x₂-2），知

PM

+

PN

=(x1-m，y1)  +(x2-m，y2)=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂），由于菱形對角線垂直，則(

PM

+

PN

)  •

MN

=0，故k（y₁+y₂）+x₁+x₂-2m=0，則k²（x₁+x₂-2）+x₁+x₂-2m=0，由此知存在滿足題意的點P且的取值范圍是0＜m＜

1

4

．

解答：解：（1）由2

F1F2

+

F2Q

=

0

知：F₁為F₂Q中點．
又∵

.

F2A

⊥

AQ

，
∴|F₁Q|=|F₁A|=|F₁F₂|，即F₁為△AQF₂的外接圓圓心
而|F₁A|=a，|F₁F₂|=2c，∴a=2c，又圓心為（-c，0），半徑r=a，
∴

|-c-3|

2

=a，解得a=2，
∴所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．（5分）
（2）①由（1）知F₂（1，0），y=k（x-1），

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，代入得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

，
又∵|F₂M|=a-ex₁，|F₂N|=a-ex₂，
∴

1

|F2M|

+

1

|F2N|

=

1

a-ex1

+

1

a-ex2

=

2a-e(x1+x2)

a2-ae(x1+x2) +e2(x1x2)

，

1

|F2M|

+

1

|F1M|

=

4- 1 2 - 8k2 3+4k2

4-1• 8k2 3+4k2 + 1 4 • 4k2-12 3+4k2

=

4

3

，
∴

1

|F2M|

+

1

|F2N|

為定值

4

3

．（10分）
②由上可知：y₁+y₂=k（x₁+x₂-2），

PM

+

PN

=(x1-m，y1)  +(x2-m，y2)=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂），
由于菱形對角線垂直，則(

PM

+

PN

)  •

MN

=0，
故k（y₁+y₂）+x₁+x₂-2m=0，則k²（x₁+x₂-2）+x₁+x₂-2m=0，
k2(

8k2

3+4k2

-2)+

8k2

3+4k2

-2m=0，由已知條件知k≠0且k∈R，
m=

k2

3+4k2

=

1

3 k2 +4

，∴0＜m＜

1

4

，
故存在滿足題意的點P且的取值范圍是0＜m＜

1

4

．（15分）

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．