Question

【題目】已知函數 是自然對數的底數， .
（1）求函數 的單調遞增區間；
（2）若 為整數， ，且當 時， 恒成立，其中 為 的導函數，求 的最大值.

Answer 1

【答案】
（1）解： .

若 ，則 恒成立，所以， 在區間 上單調遞增

若 ，當 時， ， 在 上單調遞增.

綜上，當 時， 的增區間為 ；當 時， 的增區間為

（2）解：由于 ，所以，

當 時， ，故 ————①

令 ，則

函數 在 上單調遞增，而

所以 在 上存在唯一的零點，

故 在 上存在唯一的零點.

設此零點為 ，則 .

當 時， ；當 時， ；

所以， 在 上的最小值為 .由 可得

所以， 由于①式等價于 .

故整數 的最大值為2.

【解析】(1)根據題意求出導函數討論a的取值范圍即可得出函數的增區間。(2)由已知運用參數分離可得求出導函數利用導函數的性質即可得到原函數的單調區間，再運用零點存在定理即可求得k的最大值。
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．