Question

設(shè)異面直線、成角，它們的公垂線段為且，線段AB的長(zhǎng)為4，兩端點(diǎn)A、B分別在、上移動(dòng)，則AB中點(diǎn)P的軌跡是            。

Answer 1

AB的中點(diǎn)P過(guò)EF的中點(diǎn)O且與、平行的平面內(nèi)，于是空間的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題。取EF的中點(diǎn)O，過(guò)O作
則  、確定平面,

且A在內(nèi)的射影必在上，B在內(nèi)的射影必在上，AB的中點(diǎn)P必在H ,如圖1所示。
又  
易得   ,
現(xiàn)求線段在移動(dòng)時(shí)，其中點(diǎn)P的軌跡。以的平分線為軸，O為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，如圖2所示。不妨設(shè)。在中，   ①。設(shè)的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，即，代入①消去、，得，于是得到的是橢圓②夾在內(nèi)的弧，在另外的情形中，同樣得到橢圓②的其余弧，故點(diǎn)P的軌跡是EF的中垂面上以O(shè)為中心的橢圓。