Question

【題目】函數.

（1）當時，討論函數的單調性；

（2）當時，時，恒成立，求正整數的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析

（2）

【解析】

（1）對求導，再因式分解，討論每個因式的正負，再判斷的正負，進而判斷的單調性；（2）代入，將不等式中的和分離在不等號兩邊，然后討論不等號含有一邊的函數的單調性，進而判斷最值，再計算的取值范圍，由是正整數的條件可求出的最大值.

解：（1）函數的定義域為，

①當時，因為，故有.

此時函數在區間單調遞減.

②當，有，方程的兩根分別是：

函數在上單調遞減；

當函數在上單調遞增；

當函數在上單調遞減.

③當時，易知在上單調遞增，在上單調遞減.

綜上所述，當時，在上單調遞減；

當時，在上單調遞減，

在上單調遞增；

當時，在上單調遞增，在單調遞減.

（2）當

設

當時，有，

設

在上單調遞增，

又在上的函數圖像是一條不間斷的曲線，

且，

存在唯一的，使得，即.

當；

當，

在上單調遞減，在上單調遞增，

在上單調遞減，

，

時，不等式對任意恒成立，

正整數的最大值是3.