Question

【題目】已知六面體如圖所示，平面，，，，，，，，分別是棱，上的點，且滿足.

（1）求證：平面平面；

（2）若平面與平面所成的二面角的大小為，求.

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

解法一：（1）連接，設，根據相似三角形以及等分線段性質，即可證明，連接，證明是平行四邊形，得到，由兩平面平行判定定理即可得到平面平面。

解法二：（1）由題意可得，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，分別與平面中兩個相交向量相乘等于0，即可證明平面平面；

（2）由（1）可得平面的法向量，再求出平面的法向量，進而求得平面與平面所成的二面角的余弦值，由此求出。

解：（1）證法一：連接，設，連接，，

因為，所以，所以，

在中，因為，

所以，且平面，

故平面，

在中，因為，

所以，且，

所以，因為，

所以，所以是平行四邊形，

所以，且平面，

所以平面，因為，所以平面平面.

證法二：因為，，，，，所以，

因為，平面，所以平面，

所以，，

取所在直線為軸，取所在直線為軸，取所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

由已知可得，，，，

所以，因為，

所以，

所以點的坐標為，

同理可求點的坐標為，

所以，，設為平面的法向量，

則，令，解得，，

所以，

因為，，

所以，且，

所以平面平面

（2） 為平面的法向量.

，

可求平面的一個法向量為

所以，

所以