Question

【題目】已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)，，點(diǎn)是，的交點(diǎn)，若是銳角三角形，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

設(shè)∠F1PF2＝θ，則，得出，利用橢圓和雙曲線的焦點(diǎn)三角形的面積公式可得出，結(jié)合c＝2，可得出，然后將橢圓和雙曲線的方程聯(lián)立，求出交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，利用該點(diǎn)的橫坐標(biāo)位于區(qū)間（﹣c，c），得出，可得出，從而得出橢圓C1的離心率e的取值范圍．

解：設(shè)∠F1PF2＝θ，則，所以，，則，

由焦點(diǎn)三角形的面積公式可得，所以，，

雙曲線的焦距為4，橢圓的半焦距為c＝2，則b2＝a2﹣c2＝a2﹣4＞3，

得，所以，橢圓C1的離心率．

聯(lián)立橢圓C1和雙曲線C2的方程，

得，得，

由于△PF1F2為銳角三角形，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，則，所以，．

因此，橢圓C1離心率e的取值范圍是．

故選：C．