Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）判斷并證明的單調性；

（Ⅱ）若不等式，對恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時，在上是增函數;當時， 在上是減函數，在上是增函數. 證明見解析. （Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）,分和兩種情況進行討論可得出答案.
（Ⅱ）根據圖象可得，當時，不等式不是恒成立的,討論的情況滿足，當時，在處取得最小值,所以，即可得出答案.

（Ⅰ）

當時，，在上是增函數;

當時，令，解得

所以當時，，在上是增函數;

當時，，在上是減函數;

綜上所述：當時，在上是增函數;

當時， 在上是減函數，在上是增函數.

（Ⅱ）不等式，對恒成立，即在上恒成立.

由（Ⅰ）可知，當時，函數，的圖象如圖.

根據圖象可得，當時，不等式不是恒成立的.

當時, 不等式是恒成立的.

當時，由（Ⅰ）可知，在處取得最小值.

即，所以，則

綜上所述：的取值范圍是：.