Question

（本小題滿分12分）已知某幾何體的直觀圖和三視圖如下圖所示, 其正視圖為矩形,左視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形.

（Ⅰ）證明：⊥平面；

（Ⅱ）求平面與平面所成角的余弦值；

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

（10見解析；（2）.

【解析】（1）由三視圖和直觀圖可得兩兩垂直，可以分別為軸建立空間直角坐標系，求出點的坐標，利用向量的數量積證明,，由線面垂直的判定定理得⊥平面；（2）在（1）的條件下，分別求出平面的一個法向量,平面的一個法向量．所以二面角C－NB₁－C₁的余弦值為。

證明:∵該幾何體的正視圖為矩形,左視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形, ∴兩兩垂直.以分別為軸建立空間直角坐標系如圖．--------------2分

則．

∴，

．------------4分

∴,.

又與相交于，

∴⊥平面.   -------------------6分

（Ⅱ）∵⊥平面,

∴是平面的一個法向量,     ------------8分

設為平面的一個法向量,

則,

所以可取．                      ------------10分

則．

∴所求二面角C－NB₁－C₁的余弦值為．    ------------12分