Question

已知a∈R，設p：函數f(x)＝x²＋(a－1)x是區間(1，＋∞)上的增函數，q：方程x²－ay²＝1表示雙曲線．
（1）若p為真命題，求實數a的取值范圍；
（2）若“p且q”為真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）[－1，＋∞)（2）(0，＋∞)

試題分析：（1）因為p為真命題，即函數f(x)＝x²＋(a－1)x是(1，＋∞)上的增函數，由于二次函數單調性決定于對稱軸與定義區間的相對位置關系，所以結合圖像可得對稱軸在區間(1，＋∞)左側時，函數單調增即：，解得a≥－1，（2）因為“p且q”為真命題，所以p為真命題，且q也為真命題．由（1）可得p為真命題時有a≥－1；由q為真命題，即方程x²－ay²＝1表示雙曲線，因而有a＞0；兩者要同時成立，就是求其交集，為a＞0．
試題解析：
（1）因為p為真命題，即函數f(x)＝x²＋(a－1)x是(1，＋∞)上的增函數，
所以．                                      3分
解得a≥－1．
即實數a的取值范圍是[－1，＋∞)．                     5分
（2）因為“p且q”為真命題，所以p為真命題，且q也為真命題．  7分
由q為真命題，得a＞0．
所以a≥－1且a＞0，即a＞0．
所以實數a的取值范圍是(0，＋∞)．                    10分