Question

已知函數f（x）=x-

2

x

，g（x）=a（2-lnx）．若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在x=1處的切線斜率相同，求a的值，并判斷兩條切線是否為同一條直線．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：求出兩個函數的導函數，得到兩函數在x=1時的導數值，由導數值相等求得a的值，然后分別求出兩曲線上的
切點，由點斜式求得切線方程，最后加以判斷．

解答： 解：由f（x）=x-

2

x

，g（x）=a（2-lnx），得
f′(x)=1+

2

x2

，g′(x)=-

a

x

．
∴f′（1）=3，g′（1）=-a．
由曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在x=1處的切線斜率相同，得
-a=3，即a=-3．
曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為y-f（1）=3（x-1），
即y+1=3（x-1），整理得3x-y-4=0．
曲線y=g（x）在x=1處的切線方程為y-g（1）=3（x-1）．
即y+6=3（x-1），整理得3x-y-9=0，
∴兩條切線不是同一條直線．

點評：本題考查利用導數研究曲線上某點出的切線方程，過曲線上某點處的切線的斜率，就是函數在該點處的導數值，是中檔題．