Question

(本小題滿分12分)如圖所示是某水產養殖場的養殖大網箱的平面圖，四周的實線為網衣，為避免混養，用篩網(圖中虛線)把大網箱隔成大小一樣的小網箱．

(1)若大網箱的面積為108平方米，每個小網箱的長x，寬y設計為多少米時，才能使圍成的網箱中篩網總長度最小；

(2)若大網箱的面積為160平方米，網衣的造價為112元/米，篩網的造價為96元/米，且大網箱的長與寬都不超過15米，則小網箱的長、寬為多少米時，可使總造價最低？

 

Answer 1

【答案】

(1)每個小網箱的長與寬分別為與4.5米與3米時，網箱中篩網的總長度最�。�

(2)當小網箱的長與寬分別為米與米時，可使總造價最低．

【解析】

試題分析：（1）將實際問題轉化成數學問題，出現乘積是定值，且等號能取到，利用基本不等式求最值．

（2）將實際問題轉化成數學問題，出現乘積是定值，但等號取不到，不能用基本不等式求最值，利用導數求函數單調性求最值．

(1)設小網箱的長、寬分別為x、y米，篩網總長度為L，

依題意4x·2y＝108，即xy＝，L＝4x＋6y. ……1分

因為4x＋6y＝2(2x＋3y)≥4＝36，所以L≥36. ………3分

當且僅當2x＝3y時，等號成立，

解方程組得……5分

即每個小網箱的長與寬分別為與4.5米與3米時，網箱中篩網的總長度最�。�………6分

(2)設總造價為W元，則由4x·2y＝160，得xy＝20. ……7分

因為4x≤15,2y≤15，所以x≤，y≤.

又因為y＝≤.

所以≤x≤.……8分

W＝(8x＋4y)·112＋(4x＋6y)·96＝·112＋·96＝1 280.……9分

求導，可得W(x)在上單調遞減．……10分

所以當x＝時，W最小，此時x＝，y＝.……11分

即當小網箱的長與寬分別為米與米時，可使總造價最低．………12分

考點：本試題主要考查了在實際問題中，運用均值不等式求解最值的運用。

點評：解決該試題的關鍵是利用基本不等式請求函數的最值是一定注意使用的條件：一正；二定；三相等．當然也可以運用函數的思想求解導數得到最值，兩者要合理使用。