Question

圓C：（x-1）²+（y-2）²=25內有一點P（3，1），l為過點P且傾斜角為α的直線．
（1）若α=

3π

4

，求直線l與圓C相交弦的弦長；
（2）求直線l被圓C截得的弦長度最短時，直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由直線的傾斜角的度數，根據直線傾斜角與斜率的關系：傾斜角的正切值等于直線的斜率，得到直線l的斜率，再由直線過P，由P的坐標和求出的斜率寫出直線的方程，利用點到直線的距離公式求出圓心C到直線l的距離即為弦心距，由弦心距及圓的半徑，利用勾股定理求出弦長的一半，乘以2即可得到弦的長；
（2）根據直線l與直線PC垂直時，直線l被圓C截得的弦最短，根據兩直線垂直時斜率的乘積為-1，由直線CP的斜率求出直線l的斜率，再根據直線l過P點，由P的坐標和求出的斜率寫出直線l的方程即可．

解答：解：（1）α=

3π

4

⇒kl=-1，
直線l的方程：y-1=-（x-3）即x+y-4=0
點C（1，2）到直線l的距離d=

|1+2-4|

2

=

2

2

，又圓C的半徑為5，
則直線l與圓C相交弦的弦長為：2

52-( 2 2 )2

=7

2

；
（2）當直線l與直線CP垂直時，直線l被圓C截得的弦長度最短.kCP=-

1

2

⇒kl=2
∴直線l的方程：2x-y-5=0．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：直線傾斜角與斜率的關系，兩直線垂直時斜率滿足的關系，直線的點斜式方程，點到直線的距離公式，垂徑定理以及勾股定理，當直線與圓相交時，常常利用弦心距，弦長的一半及圓的半徑構造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．