Question

在平面直角坐標系中，已知點A ( 

1

2

 ， 0 )，點B在直線l：x=-

1

2

上運動，過點B與l垂直的直線和AB的中垂線相交于點M．
（Ⅰ）求動點M的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設點P是軌跡E上的動點，點R，N在y軸上，圓C：（x-1）²+y²=1內切于△PRN，求△PRN的面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）設點M的坐標為（x，y），由題設知，|MB|=|MA|．根據拋物線的定義可知點M的軌跡為拋物線，根據焦點和準線方程，則可得拋物線方程．
（2）設P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），且b＞c，則直線PR的方程可得，由題設知，圓心（1，0）到直線PR的距離為1，把x₀，y₀代入化簡整理可得（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，同理可得（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0，進而可知b，c為方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0的兩根，根據求根公式，可求得b-c，進而可得△PRN的面積的表達式，根據均值不等式可知當當x₀=4時面積最小，進而求得點P的坐標．

解答：解：（Ⅰ）設點M的坐標為（x，y），由題設知，|MB|=|MA|．
所以動點M的軌跡E是以A ( 

1

2

 ， 0 )為焦點，
l：x=-

1

2

為準線的拋物線，其方程為y²=2x；
（Ⅱ）設P（x₀，y₀），R（0，b），N（0，c），且b＞c，
故直線PR的方程為（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0．
由題設知，圓心（1，0）到直線PR的距離為1，
即

| y0-b+x0b |

( y0-b )2+x02

=1．
注意到x₀＞2，化簡上式，得（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，
同理可得（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0．
由上可知，b，c為方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0的兩根，
根據求根公式，可得b-c=

4 x 2 0 +4 y 2 0 -8x0

x0-2

=

2x0

x0-2

．
故△PRN的面積為
S=

1

2

( b-c )x0=

x 2 0

x0-2

=( x0-2 )+

4

x0-2

+4≥2

( x0-2 )• 4 x0-2

+4=8，
等號當且僅當x₀=4時成立．此時點P的坐標為( 4 ， 2

2

 )或( 4 ， -2

2

 )．
綜上所述，當點P的坐標為( 4 ， 2

2

 )或( 4 ， -2

2

 )時，△PRN的面積取最小值8．

點評：本題主要考查了拋物線的標準方程和直線與拋物線的關系．直線與圓錐曲線的問題常涉及到圓錐曲線的性質和直線的基本知識點，如直線被圓錐曲線截得的弦長、弦中點問題，垂直問題，對稱問題．與圓錐曲線性質有關的量的取值范圍等是近幾年命題的新趨向．