Question

（本小題滿分14分）
如圖，已知橢圓的離心率為，短軸的一個端點到右焦點的距離為．設直線與橢圓相交于兩點，點關于軸對稱點為．
（1）求橢圓的方程；
（2）若以線段為直徑的圓過坐標原點，求直線的方程；
（3）試問：當變化時，直線與軸是否交于一個定點？若是，請寫出定點的坐標，并證明你的結論；若不是，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意可得，解得
所以橢圓的方程為…………（4分）
（2）由
設，則…………（5分）
因為以線段為直徑的圓過坐標原點，即
所以，
………………（7分）
所以
，
故所求直線的方程為…………（9分）
（3）由（2）知：
則直線的方程為，令，得…………（11分）

…………（13分）
這說明，當變化時，直線與軸交于定點…………（14分）

略