Question

(本小題滿分15分)
如圖，橢圓方程為，為橢圓上的動點，為橢圓的兩焦點，當點不在軸上時，過作的外角平分線的垂線,垂足為，當點在軸上時，定義與重合。

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；
（Ⅱ）已知、，試探究是否存在這樣的點：點是軌跡內(nèi)部的整點（平面內(nèi)橫、縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點），且的面積？若存在，求出點的坐標，若不存在，說明理由。

Answer 1

解：(Ⅰ)當點P不在軸上時，延長與的延長線相交于點N，連結(jié)OM，
,,是線段的中點，
………………………………………………………………………2分
。
點P在橢圓上，。…………………………4分
當點P在軸上時，M與P重合，
M點的軌跡方程為。……………………………………………6分
 
（Ⅱ）連結(jié)OE，易知軌跡T上有兩個點，滿足,
分別過A,B作直線OE的兩條平行線，同底等高的兩個三角形的面積相等，
∴符合條件的點均在直線、上。……………………………………………7分
∵  ∴直線、的方程分別為：、。…8分
設(shè)點 （ ）∵在軌跡T內(nèi)，∴。…………9分
分別解與
得 與………………………………………………11分
∵∴為偶數(shù)，在上對應(yīng)的
在上，對應(yīng)的…………………………13分
∴滿足條件的點存在，共有6個，它們的坐標分別為：
………………………15分

略