Question

如圖，在△ABC中，CD是∠ACB的平分線，△ACD的外接圓交BC于點E，AB=2AC，
（1）求證：BE=2AD；
（2）求函數AC=1，EC=2時，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）連接DE，因為ACED是圓的內接四邊形，所以△BDE∽△BCA，由此能夠證明BE=2AD．
（2）由條件得AB=2AC=2，根據割線定理得BD•BA=BE•BC，即（AB-AD）•BA=2AD•（2AD+CE），由此能求出AD．

解答：（1）證明：連接DE，
∵ACED是圓的內接四邊形，
∴∠BDE=∠BCA，
∵∠DBE=∠CBA，
∴△BDE∽△BCA，
∴

BE

BA

=

DE

CA

，
∵AB=2AC，
∴BE=2DE．
∵CD是∠ACB的平分線，
∴AD=DE，
從而BE=2AD．（5分）
（2）解：由條件得AB=2AC=2，
設AD=t，根據割線定理得
BD•BA=BE•BC，
∴（AB-AD）•BA=2AD•（2AD+CE），
∴（2-t）×2=2t（2t+2），
∴2t²+3t-2=0，
解得t=

1

2

，即AD=

1

2

．（10分）

點評：本題考查與圓有關的比例線段的應用，是中檔題．解題時要認真審題，仔細解答，注意圓的內接四邊形的性質和切割線定理的合理運用．