Question

【題目】在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E為BB1中點．

（1）證明：AC⊥D1E；
（2）求DE與平面AD1E所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BD

∵ABCD﹣A1B1C1D1是長方體，

∴D1D⊥平面ABCD，

又AC平面ABCD

∴D1D⊥AC

在長方形ABCD中，AB=BC

∴BD⊥AC

又BD∩D1D=D

∴AC⊥平面BB1D1D，

而D1E平面BB1D1D

∴AC⊥D1E

（2）解：如圖建立空間直角坐標系D﹣xyz，則A（1，0，0），D1（0，0，2），E（1，1，1），B（1，1，0），

設平面AD1E的法向量為 ，則 ，

令z=1，則

∴cos＜ ， ＞= =

∴DE與平面AD1E所成角的正弦值為

【解析】（1）根據已知中長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是側棱BB1的中點，結合長方體的幾何特征，我們可得D1D⊥AC，BD⊥AC，結合線面垂直的判定定理即可得到AC⊥平面BB1D1D，即可得出結論；（2）建立空間直角坐標系，求出平面AD1E的法向量，利用向量的夾角公式，即可求DE與平面AD1E所成角的正弦值．
【考點精析】利用空間角的異面直線所成的角對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．