Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求的單調區間；

（2）設是曲線圖象上的兩個相異的點，若直線的斜率恒成立，求實數的取值范圍；

（3）設函數有兩個極值點且,若恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單增區間為；單調減區間為;(2);（3）.

【解析】試題分析：

(1)利用題意求解 的解析式，然后求解分式不等式即可得到函數的單調區間；

(2)對導函數分離系數，結合均值不等式的結論討論實數 的取值范圍即可；

(3)利用題意分析所給的問題，構造函數，設設，

討論函數 的性質即可得到實數 的取值范圍.

試題解析：

（1），

令或，

的單調增區間為；單調減區間為.

即，所以，

令在上單調遞增，

∴，對恒成立，

,對恒成立，

又 ，當時取等號，

，故.

（3），因為函數有兩個極值點，所以是方程的兩個根，即，所以是方程的兩個根，

所以有，

∴

令，則，設，

∴，

∴在上單減，∴，

故.