Question

【題目】設 ，若0≤a≤1，n∈N＋且n≥2，求證：f(2x)≥2f(x).

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：本題主要考查了一般形式的柯西不等式，本題的解答是利用分析法，解決問題的關鍵是將 f(2x)＞2f(x)轉化為，然后再根據對數函數 單調性進一步化簡，搭配成柯西不等式形式，證明即可.

試題解析：∵，

∴要證f(2x)≥2f(x)，

只要證 ，

即證 (*)

也即證n[12x＋22x＋…＋(n－1)2x＋a·n2x]

≥[1x＋2x＋…＋(n－1)x＋a·nx]2 ，

∵0≤a≤1，∴a＞a2 ， 根據柯西不等式得

n[12x＋22x＋…＋(n－1)2x＋a·n2x]

，

≥[1x＋2x＋…＋(n－1)x＋a·nx]2 ，

即(*)式顯然成立，故原不等式成立.