Question

已知橢圓的離心率為，且過點，過的右焦點任作直線，設交于，兩點（異于的左、右頂點），再分別過點，作的切線，，記與相交于點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）證明：點在一條定直線上.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】(1)根據離心率和b，可求出a,c的值.

(2) 解本題的關鍵是，

=……=

然后借助韋達定理解決即可.

解：（1）由題意，得，，…2分 

又，                  ………4分                

解得，，             ………5分

故橢圓的標準方程為；………6分  

（2）當橢圓上的點在軸上方，即時，，

則，            ………………………8分

再由橢圓的對稱性，當點在軸下方，，即時，仍有.

因此橢圓在點的切線的斜率.     …………………10分

①當直線軸時，，，從而切線，的方程分別為

，，則點；   ……………11分

②當直線存在斜率時，設，

由，消去，得，

則，.                             ……………13分

于是，

從而方程可化為，而，所以.

即點的橫坐標恒為，這表明點恒在直線上.            ………………15分.