Question

給出下列四個命題：
①函數f（x）=x|x|+bx+c為奇函數的充要條件是c=0；
②函數y=2^-x（x＞0）的反函數是y=-log₂x（x＞0）；
③若函數f（x）=lg（x²+ax-a）的值域是R，則a≤-4或a≥0；
④若函數y=f（x-1）是奇函數，則函數y=f（x）的圖象關于點（-1，0）對稱．
其中正確命題的個數是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：逐個加以判別：根據奇函數定義得到①正確；根據原函數的值域是反函數的定義域，得到②不正確；根據對數型函數的值域求法，得到③正確；根據奇函數圖象關于原點對稱以及函數圖象平移規律，得到④正確．由此可得正確選項．

解答：解：先看①：當c=0時，函數f（x）=x|x|+bx+c變為f（x）=x|x|+bx
此時f（-x）=-x|-x|-bx=-f（x），說明f（x）奇函數
反之，當函數是一個奇函數時，由f（-x）=-f（x），可得到c=0，
因此函數f（x）=x|x|+bx+c為奇函數的充要條件是c=0，故①正確；
再看②：由y=2^-x（x＞0）得x=-log₂y，（0＜y＜1）
說明函數y=2^-x（x＞0）的反函數是y=-log₂x（0＜x＜1），故②不正確；
然后看③：函數f（x）=lg（x²+ax-a）的值域是R，等價于真數可以取到所有的正數，
說明真數對應的二次函數的判別式大于0，
即a²+4a≥0，得到a≤-4或a≥0，故③正確．
最后看④：函數y=g（x）=f（x-1）是奇函數，說明g（x）的圖象關于原點對稱，
而y=f（x）的圖象是由y=g（x）圖象左移一個單位而來的，
說明y=f（x）的圖象關于點（-1，0）對稱，故④正確．
綜上所述，得正確命題是①③④三個
故選C

點評：本題以函數的奇偶性和基本初等函數的定義域、值域為載體，考查了命題真假的判斷與應用，屬于基礎題．對基本初等函數的定義域、值域和圖象的考查，是高考常考的必考知識，同學們應給予足夠的重視．