Question

在某電視臺舉辦的《上海世博會知識有獎問答比賽》中，甲、乙、丙三人同時回答一道問題，已知甲回答對這道題的概率是

3

4

，甲、丙兩人都回答錯的概率是

1

12

，乙、丙兩人都回答對的概率是

1

4

，且三人答對這道題的概率互不影響．
（Ⅰ）求乙、丙兩人各自回答對這道題的概率；
（Ⅱ）求答對該題的人數ξ的分布列和數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據所給的條件甲回答對這道題的概率是

3

4

，甲、丙兩人都回答錯的概率是

1

12

，乙、丙兩人都回答對的概率是

1

4

，三人答對這道題的概率互不影響，利用相互獨立事件同時發生的概率寫出關于三個事件管理的關系式，解出概率的值．
（Ⅱ）答對該題的人數ξ，ξ的可能取值：0，1，2，3，結合變量對應的事件，再根據相互獨立事件的概率公式得到結果，寫出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）∵甲回答對這道題的概率是

3

4

，甲、丙兩人都回答錯的概率是

1

12

，
乙、丙兩人都回答對的概率是

1

4

，三人答對這道題的概率互不影響．
記“甲回答對這道題”、“乙回答對這道題”、
“丙回答對這道題”分別為事件A、B、C，
則P(A)=

3

4

，
且有

P( A )•P( C )= 1 12 P(B)•P(C)= 1 4

即

[1-P(A)]•[1-P(C)]= 1 12 P(B)•P(C)= 1 4

∴P(B)=

3

8

，P(C)=

2

3

（Ⅱ）答對該題的人數ξ，ξ的可能取值：0，1，2，3，
根據相互獨立事件的概率公式得到
P(ξ=0)=P(

.

A

•

.

B

•

.

C

)=

5

96

P(ξ=1)=P(A•

.

B

•

.

C

+

.

A

•

.

B

•

.

C

+

.

A

•

.

B

•C)=

7

24

P(ξ=2)=P(A•B•

.

C

+A•

.

B

•C+

.

A

•B•C)=

15

32

P(ξ=3)=P(A•B•C)=

3

16

∴ξ的分布列是

∴Eξ=1×

7

24

+2×

15

32

+3×

3

16

=

43

24

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查運用概率知識解決實際問題的能力，相互獨立事件是指，兩事件發生的概率互不影響，注意應用相互獨立事件同時發生的概率公式．