Question

設函數f（x）=

a

•

b

，其中向量

a

=（m，cosx），

b

=（1+sinx，1），x∈R，且f（

π

2

）=2
（1）求實數m的值；
（2）求函數f（x）的最小值及此時x的值．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：（1）利用數量積運算可得f（x）=

a

•

b

=m（1+sinx）+cosx，再利用f(

π

2

)=2，可得m的值；
（2）由（1）可得f（x）=sinx+cosx+1=

2

sin(x+

π

4

)+1，再利用正弦函數的單調性研究性即可得出．

解答： 解：（1）f（x）=

a

•

b

=m（1+sinx）+cosx，
∵f(

π

2

)=2，
∴m(1+sin

π

2

)+cos

π

2

=2，
化為2m=2，解得m=1．
（2）由（1）可得f（x）=sinx+cosx+1
=

2

sin(x+

π

4

)+1，
當x+

π

4

=-

π

2

+2kπ時，即x=2kπ-

3π

4

（k∈Z）時，sin(x+

π

4

)取得最小值-1，此時f（x）取得最小值-

2

+1．

點評：本題考查了數量積運算、兩角和差的正弦公式、正弦函數的單調性有界性，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．