Question

【題目】已知函數f（x）=（x2﹣x﹣1）ex ．
（1）求函數f（x）的單調區間．
（2）若方程a（ +1）+ex=ex在（0，1）內有解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=（x2+x﹣2）ex=（x﹣1）（x+2）ex，

令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，

令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜1，

故f（x）在（﹣∞，﹣2）遞增，在（﹣2，1）遞減，在（1，+∞）遞增

（2）解：方程a（ +1）+ex=ex可化為ex﹣ax2+（a﹣e）x=0，

令g（x）=ex﹣ax2+（a﹣e）x，則g（x）在（0，1）內有零點，易知g（0）=1，g（1）=0，

g′（x）=ex﹣2ax+a﹣e，設g′（x）=h（x），則h′（x）=ex﹣2a，

①a＜0時，h′（x）＞0，即h（x）在區間（0，1）遞增，h（0）=1+a﹣e＜0，

h（1）=﹣a＞0，即h（x）在區間（0，1）只有1個零點x1，

故g（x）在（0，x1）遞減，在（x1，1）遞增，

而g（0）=1＞0，g（1）=0，得g（x1）＜g（1）=0，故g（x）在（0，x1）內存在唯一零點；

②當0≤a≤ 時，h′（x）＞0，即h（x）在區間（0，1）遞增，

h（x）＜h（1）=﹣a≤0，得g（x）在（0，1）遞減，得g（x）在（0，1）無零點；

③當 ＜a＜ 時，令h′（x）=0，得x=ln（2a）∈（0，1），

∴h（x）在區間（0，ln（2a））上遞減，在（ln（2a），1）遞增，

h（x）在區間（0，1）上存在最小值h（ln（2a）），

故h（ln（2a））＜h（1）=﹣a＜0，h（0）=1+a﹣e＜a﹣ ＜0，

故 ＜a＜ 時，x∈（0，1），都有g′（x）＜0，g（x）在（0，1）遞減，

又g（0）=1，g（1）=0，故g（x）在（0，1）內無零點；

④a≥ 時，h′（x）＜0，h（x）在區間（0，1）遞減，h（1）=﹣a＜0，h（0）=1+a﹣e，

若h（0）=1+a﹣e＞0，得a＞e﹣1＞ ，

則h（x）在區間（0，1）只有1個零點x2，

故g（x）在（0，x2）遞增，在（x2，1）遞減，

而g（0）=1，g（1）=0，得g（x）在（0，1）無零點，

若 ＜a時，則h（0）=1+a﹣e＜0，得g（x）在（0，1）遞減，得g（x）在（0，1）內無零點，

綜上，a＜0時，方程a（ +1）+ex=ex在（0，1）內有解

【解析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（2）問題可化為ex﹣ax2+（a﹣e）x=0，令g（x）=ex﹣ax2+（a﹣e）x，則g（x）在（0，1）內有零點，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間，從而確定a的范圍即可．