Question

【題目】橢圓：的左焦點為且離心率為，為橢圓上任意一點，的取值范圍為，.

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，設圓是圓心在橢圓上且半徑為的動圓，過原點作圓的兩條切線，分別交橢圓于，兩點.是否存在使得直線與直線的斜率之積為定值？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）時，直線與直線的斜率之積為定值.

【解析】

（1）利用離心率得到的關系；然后表示出，通過的范圍得到，由得到，從而求得方程；（2）假設圓的方程，利用直線與圓相切，得到關于的方程，從而得到的表達式，從而得到當時，為定值，求得結果.

（1）橢圓的離心率

橢圓的方程可寫為

設橢圓上任意一點的坐標為

則

，

，，

橢圓的方程為

（2）設圓的圓心為，則圓的方程為

設過原點的圓的切線方程為：，則有

整理有

由題意知該方程有兩個不等實根，設為，

則

當時，

當圓的半徑時，直線與直線的斜率之積為定值