Question

【題目】如圖，已知OPQ是半徑為1，圓心角為 的扇形，C是扇形弧上的動點，ABCD是扇形的內接矩形．記∠COP=α，則矩形ABCD的面積最大是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：如圖，
在Rt△OBC中，OB=cosα，BC=sinα，
在Rt△OAD中， =tan60°= ，
所以OA= DA= BC= sinα．
所以AB=OB﹣OA=cosα﹣ sinα．
設矩形ABCD的面積為S，
則S=ABBC=（cosα﹣ sinα）sinα=sinαcosα﹣ sin2α
= sin2α+ cos2α﹣ = （ sin2α+ cos2α）﹣
= sin（2α+ ）﹣ ．
由于0＜α＜ ，所以當2α+ = ，即α= 時，S最大= ﹣ = ．
因此，當α= 時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為 ．
所以答案是： ．
【考點精析】本題主要考查了扇形面積公式的相關知識點，需要掌握若扇形的圓心角為，半徑為，弧長為，周長為，面積為，則，，才能正確解答此題．