Question

【題目】如圖，四棱錐S﹣ABCD的底面是正方形，每條側棱的長都是底面邊長的 倍，P為側棱SD上的點．
（1）求證：AC⊥SD；
（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P﹣AC﹣D的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：連BD，設AC交BD于O，由題意SO⊥AC．

在正方形ABCD中，AC⊥BD，

所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD

（2）解：設正方形邊長a，則SD= a．

又OD= a，所以∠SDO=60°，

連OP，由（Ⅰ）知AC⊥平面SBD，

所以AC⊥OP，且AC⊥OD，

所以∠POD是二面角P﹣AC﹣D的平面角．

由SD⊥平面PAC，知SD⊥OP，

所以∠POD=30°，

即二面角P﹣AC﹣D的大小為30°

【解析】（1）連BD，設AC交BD于O，則SO⊥AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD，根據線面垂直的判定定理可知AC⊥平面SBD，SD平面SBD，根據線面垂直的性質可知AC⊥SD．（2）設正方形邊長a，求出SD、OD，得到∠SDO，連OP，根據（Ⅰ）知AC⊥平面SBD，則AC⊥OP，且AC⊥OD，根據二面角平面角的定義可知∠POD是二面角P﹣AC﹣D的平面角，然后在三角形POD求出此角即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關系的相關知識，掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點．