Question

【題目】如圖，AB是的⊙O直徑，CB與⊙O相切于B，E為線段CB上一點，連接AC、AE分別交⊙O于D、G兩點，連接DG交CB于點F．

（1）求證：C、D、G、E四點共圓．
（2）若F為EB的三等分點且靠近E，EG=1，GA=3，求線段CE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BD，則∠AGD=∠ABD，

∵∠ABD+∠DAB=90°，∠C+∠CAB=90°

∴∠C=∠AGD，

∴∠C+∠DGE=180°，

∴C，E，G，D四點共圓．

（2）解：∵EGEA=EB2，EG=1，GA=3，

∴EB=2，

又∵F為EB的三等分點且靠近E，

∴ ， ，

又∵FGFD=FEFC=FB2，

∴ ，CE=2．

【解析】（1）連接BD，由題設條件結合圓的性質能求出∠C=∠AGD，從而得到∠C+∠DGE=180°，由此能證明C，E，G，D四點共圓．（2）由切割線定理推導出EB=2，由此能求出CE的長．