Question

【題目】定義域為R的偶函數f（x）滿足對x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且當x∈[2，3]時，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函數y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，則a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】（0， ）
【解析】解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），
且f（x）是定義域為R的偶函數，
令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），
又f（﹣1）=f（1），
∴f（1）=0 則有f（x+2）=f（x），
∴f（x）是最小正周期為2的偶函數．
當x∈[2，3]時，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2 ，
函數的圖象為開口向下、頂點為（3，0）的拋物線．
∵函數y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，
令g（x）=loga（|x|+1），則f（x）的圖象和g（x）的圖象至少有3個交點．
∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1，
要使函數y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，
則有g（2）＞f（2），可得 loga（2+1）＞f（2）=﹣2，
即loga3＞﹣2，∴3＜ ，解得- ＜a＜ ，又0＜a＜1，∴0＜a＜ ，
故答案為：（0， ）．

令x=﹣1，求出f（1），可得函數f（x）的周期為2，當x∈[2，3]時，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，畫出圖形，根據函數y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，利用數形結合的方法進行求解．