Question

【題目】如圖，在幾何體中，底面為矩形， ， ．點在棱上，平面與棱交于點．

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）若， ， ，平面平面，求二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析(3)

【解析】試題分析：（Ⅰ）由線面平行判定定理得平面，由線面平行性質定理得；（Ⅱ）通過線面垂直平面，得面面垂直；（Ⅲ）先證， ， 兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系，求出面的法向量為，結合面的法向量為，求出法向量夾角即可.

試題解析：（Ⅰ）因為為矩形，所以，所以平面．

又因為平面平面，所以．

（Ⅱ）因為為矩形，所以．因為，所以平面．

所以平面平面．

（Ⅲ）因為， ，所以平面，所以．

由（Ⅱ）得平面，所以，所以， ， 兩兩互相垂直．建立空間直角坐標系．

不妨設，則，設．

由題意得， ， ， ， ， ， ．

所以， ，設平面的法向量為，則即令，則，所以．

又平面的法向量為，所以．

因為二面角的平面角是銳角，所以二面角的大小．