Question

設函數，其中常數a＞1，f（x）=

1

3

x³-（1+a）x²+4ax+24a
（Ⅰ）討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）若當x≥0時，f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先對函數進行求導，根據導函數大于0時原函數單調遞增，導函數小于0時原函數單調遞減可確定函數的單調性．
（2）先將問題轉化為求函數在x≥0時的最小值問題，再結合（1）中的單調性可確定f（x）在x=2a或x=0處取得最小值，求出最小值，即可得到a的范圍．

解答：解：（1）f'（x）=x²-2（1+a）x+4a=（x-2）（x-2a）
由a＞1知，當x＜2時，f'（x）＞0，
故f（x）在區間（-∞，2）是增函數；
當2＜x＜2a時，f'（x）＜0，
故f（x）在區間（2，2a）是減函數；
當x＞2a時，f'（x）＞0，
故f（x）在區間（2a，+∞）是增函數．
綜上，當a＞1時，f（x）在區間（-∞，2）和（2a，+∞）是增函數，
在區間（2，2a）是減函數．
（2）由（1）知，當x≥0時，f（x）在x=2a或x=0處取得最小值．
f(2a)=

1

3

(2a)3-(1+a)(2a)2+4a•2a+24a=-

4

3

a3+4a2+24a，f（0）=24a
由假設知

a＞1 f(2a)＞0 f(0)＞0

即

a＞1 - 4 3 a(a+3)(a-6)＞0 24a＞0.

解得1＜a＜6
故a的取值范圍是（1，6）

點評：本題考查導數與函數的綜合運用能力，涉及利用導數討論函數的單調性．