Question

已知非零實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，直線ax+by+c=0與曲線C：  

x2

m2

+

y2

9

=1 (m＞0)恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

[

3 5

5

， +∞)

．

Answer 1

分析：由非零實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，知直線ax+by+c=0恒過(guò)定點(diǎn)（1，-2）．由直線ax+by+c=0與曲線C：  

x2

m2

+

y2

9

=1 (m＞0)恒有公共點(diǎn)，知定點(diǎn)（1，-2）在曲線C：  

x2

m2

+

y2

9

=1 (m＞0)內(nèi)或在曲線C：  

x2

m2

+

y2

9

=1 (m＞0)上，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：∵非零實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，
∴2b=a+c，
∴直線ax+by+c=0恒過(guò)定點(diǎn)（1，-2）．
∵直線ax+by+c=0與曲線C：  

x2

m2

+

y2

9

=1 (m＞0)恒有公共點(diǎn)，
∴定點(diǎn)（1，-2）在曲線C：  

x2

m2

+

y2

9

=1 (m＞0)內(nèi)或在曲線C：  

x2

m2

+

y2

9

=1 (m＞0)上，
∴

1

m2

+

4

9

≤1，(m＞0)，
解得m≥

3 5

5

．
故答案為：[

3 5

5

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用．