Question

已知等差數列{a_n}的前三項為a-1，4，2a，記前n項和為S_n．
（Ⅰ）設S_k=2550，求a和k的值；
（Ⅱ）設b_n=

Sn

n

，求b₃+b₇+b₁₁+…+b_4n-1的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由等差數列的前三項可求該數列的首項a₁、公差d，再由等差數列的前n 項和公式算出S_n，進一步得S_k=2550，解出k的值
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知數列{b_n}為等差數列，利用等差數列的前n項公式求值．

解答：解：（Ⅰ）由已知得a₁=a-1，a₂=4，a₃=2a，又a₁+a₃=2a₂，
∴（a-1）+2a=8，即a=3．（2分）
∴a₁=2，公差d=a₂-a₁=2．
由S_k=ka₁+

k(k-1)

2

d，得（4分）
2k+

k(k-1)

2

×2=2550
即k²+k-2550=0．解得k=50或k=-51（舍去）．
∴a=3，k=50．（6分）
（Ⅱ）由S_n=na₁+

n(n-1)d

2

，得
S_n=2n+

n(n-1)

2

×2=n²+n（8分）
∴b_n=

Sn

n

=n+1（9分）
∴{b_n}是等差數列．
則b₃+b₇+b₁₁+…+b_4n-1=（3+1）+（7+1）+（11+1）+…+（4n-1+1）
=（3+7+11+…+4n-1）+n
=

(3+4n-1)n

2

+n
=

(4n+2)n

2

+n（11分）
∴b₃+b₇+b₁₁+…+b_4n-1=2n²+2n（12分）

點評：本題主要考查等差數列的通項公式及前n和公式，考查基本運算．