Question

給出下列四個命題：
①已知a，b，m都是正數，且

a+m

b+m

＞

a

b

，則a＜b；
②若函數f（x）=lg（ax+1）的定義域是{x|x＜1}，則a＜-1；
③已知x∈（0，π），則y=sinx+

2

sinx

的最小值為2

2

；
④函數f（x）是R上以5為周期的可導偶函數，則曲線y=f（x）在x=5處的切線斜率為0
其中正確命題的序號是

①④

．

Answer 1

分析：由導數的幾何意義以及三角函數和不等式，對選項逐一判斷即可．

解答：解：選項①，由于a，b，m都是正數，且

a+m

b+m

＞

a

b

，故可得b（a+m）＞a（b+m），即bm＞am，所以a＜b，故正確；
選項②，不妨取a=-2，由-2x+1＞0可解得x＜

1

2

，定義域不是{x|x＜1}，故錯誤；
選項③，由基本不等式的性質可得要使y=sinx+

2

sinx

的最小值為2

2

，則需sinx=

2

成立，當sinx≤1，故錯誤；
選項④，因為函數f（x）是R上的可導偶函數，故在x=0處的導數值為0，又5為周期，故在x=5處的導數值為0，
由導數的幾何意義可得，曲線y=f（x）在x=5處的切線斜率為0，故正確．
故答案為：①④

點評：本題考查命題真假的判斷，涉及導數的幾何意義以及三角函數和不等式，屬基礎題．