Question

拋物線的頂點在原點O，焦點為橢圓

x2

3

+

y2

2

=1的右焦點F．
（1）求拋物線的方程；
（2）設點P在拋物線上運動，求P到直線y=x+3的距離的最小值，并求此時點P的坐標．

Answer 1

（1）由題知F（1，0）
∴拋物線方程：y²=4x．
（2）解法1：設P（x，y），
則P到直線y=x+3的距離d=

|x-y+3|

2

，又y²=4x
∴d=

| y2 4 -y+3|

2

=

|y2-4y+12|

4 2

=

(y-2)2+8

4 2

≥

8

4 2

=

2

．
∴當P（1，2）時，dmin=

2

．
解法2：設l與直線y=x+3平行且與拋物線相切，
即l：y=x+b，由

y=x+b y2=4x

得x²+（2b-4）x+b²=0，∵△=（2b-4）²-4b²=0，∴b=1
此時切點P（1，2），P到直線y=x+3的距離最小為

|3-1|

2

=

2

．