Question

如圖，矩形ABCD與正三角形APD中，AD=2，DC=1，E為AD的中點．現將正三角形APD沿AD折起，得到四棱錐的三視圖如下：
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）求異面直線BE，PD所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）由題中的三視圖，我們可以判斷出四棱錐P-ABCD的底面是長為2、寬為1的矩形，高為

2

，代入棱錐體積公式即可得到四棱錐P-ABCD的體積；
（2）根據題意，點P在平面ABCD內的射影為BC的中點O，連接OD，由平行四邊形的性質可得DE∥BO且DE=BO，從而得出四邊形BEDO是平行四邊形，得OD∥BE，所以∠PDO即為異面直線BE、PD所成角，再由題中所給數據解Rt△POD，即可得到異面直線BE、PD所成角的大小．

解答：解：（1）根據題中的三視圖，將四棱錐P-ABCD還原為直觀圖，如圖所示．
可得平面PBC⊥平面ABCD，P在底面ABCD的射影O為BC的中點，連結PO，得PO=

2

∵四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，AD=2，DC=1，
∴底面積S_ABCD=AD×DC=2．
又∵四棱錐P-ABCD的高PO=

2

，
∴四棱錐P-ABCD的體積V=

1

3

S_ABCD×PO=

2 2

3

；
（2）連結OD，
∵矩形ABCD中，E、O分別為AD、BC的中點，
∴ED

∥

.

B0，可得四邊形BEDO是平行四邊形．
因此OD∥BE，得到∠PDO（或其補角）等于異面直線BE、PD所成角，
∵Rt△CDO中，DC=CO=1，∴OD=

DC2+CO2

=

2

．
∵PO⊥平面ABCD，DO?平面ABCD，∴PO⊥DO．
Rt△POD中，tan∠PDO=

PO

OD

=1，可得∠PDO=45°，即異面直線BE、PD所成角等于45°．

點評：本題給出四棱錐的三視圖，要求將其還原為直觀圖，并依此求異面直線所成角和錐體的體積．著重考查了三視圖的理解、線面垂直的判定與性質、異面直線所成角的定義及其求法和錐體體積公式等知識，屬于中檔題．