Question

如圖，矩形ABCD與ADQP所在平面垂直，將矩形ADQP沿PD對折，使得翻折后點Q落在BC上，設AB=1，PA=x，AD=y．

（Ⅰ）試求y關于x的函數解析式；
（Ⅱ）當y取最小值時，指出點Q的位置，并求出此時直線AD與平面PDQ所成的角；
（Ⅲ）在條件（Ⅱ）下，求三棱錐P-ADQ的內切球的半徑．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接AQ，可以證出DQ⊥面PAQ，AQ⊥DQ，得出Rt△ABQ∽Rt△QCD，根據比例關系得出y關于x的函數解析式．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得出 y=

x2

x2-1

變形為

(x2-1)+1

x2-1

=

x2-1

+

1

x2-1

利用基本不等式求最值
（Ⅲ）設三棱錐P-ADQ的內切球半徑為r，連接OA，OP，OQ，OD則三棱錐被分成了四個小三棱錐，利用等體積分割法求出r．

解答：解：（Ⅰ）顯然x＞1，連接AQ．
∵平面ABCD⊥平面ADQP，PA⊥AD，
∴PA⊥平面ABCD，PA⊥DQ，
又PQ⊥DQ，
∴DQ⊥面PAQ，AQ?面PAQ，
∴AQ⊥DQ，AD=y²-x²．
∵Rt△ABQ∽Rt△QCD，CQ=

x2-1

，
∴

DQ

AQ

=

CQ

AB

，即

x

y2-x2

=

x2-1

1

，
∴y=

x2

x2-1

(x＞1)．
（Ⅱ） y=

x2

x2-1

=

(x2-1)+1

x2-1

=

x2-1

+

1

x2-1

≥2，
當且僅當

x2-1

=

1

x2-1

即x=

2

時取等號．
此時CQ=1，即Q是BC的中點．于是由DQ⊥平面PAQ知平面PDQ⊥平面PAQ，PQ是其交線，則過A作AE⊥平面PDQ，
∴∠ADQ就是AD與平面PDQ所成的角．
由已知得AQ=

2

，PQ=AD=2，
∴AE=1，sin∠ADE=

AE

AD

=

1

2

，∠ADE=30°，
即AD與平面PDQ所成的角為30⁰．
（Ⅲ）設三棱錐P-ADQ的內切球半徑為r，設該小球的球心為O，連接OA，OP，OQ，OD則三棱錐被分成了四個小三棱錐，且每個小三棱錐中有一個面上的高都為r
∴VP-ADQ=

1

3

(S△PAD+S△PAQ+S△PDQ+S△ADQ)•r
∵VP-ADQ=

1

3

S△ADQ•PA=

2

3

，S△PAD=

2

，S_△PAQ=1，S△PDQ=

2

，S_△ADQ=1，
∴r=

2

2+2 2

=

2- 2

2

．

點評：本題是函數與不等式、空間幾何體的結合，考查了直線和直線、直線和平面垂直關系的判定與應用，函數思想，等體積轉化的方法．考查空間想象、轉化、計算能力．