Question

如圖，矩形ABCD與正三角形APD中，AD=2，DC=1，E為AD的中點，現將正三角形APD沿AD折起，得到四棱錐P-ABCD，該四棱錐的三視圖如下：

（I）求四棱錐P-ABCD的體積；
（Ⅱ）求異面直線BE，PD所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的正弦值．

Answer 1

分析：（I）由已知中的三視圖，我們可以判斷出四棱錐P-ABCD的底面是長為2，寬為1的矩形，高為

2

，代入棱錐體積公式即可得到四棱錐P-ABCD的體積；
（Ⅱ）P點在平面ABCD的射影為BC的中點O，連接OD，由三角形的中位線定理可得DE∥BO，DE=BO，進而可得OD∥BE，則∠PDO即為異面直線BE，PD所成角，解三角形即可得到答案．
（III）作CH⊥PD于H，連接EH，CE，我們可以得到∠EHC為二面角A-PD-C的平面角，解△CEH，即可得到二面角A-PD-C的正弦值．

解答：解：（I）由三視圖可知四棱錐的高為

2

，
∴V=

1

3

•

2

•2•1=

2 2

3

（Ⅱ）由題意可知，P點在平面ABCD的射影為BC的中點O，連接OD
在矩形ABCD中，DE∥BO，且DE=BO∴OD∥BE，且OD=BE
∵異面直面BE，PD所成角等于PD于DO的所成角
∵PO⊥平面ABCD且PO=

2

∴∠POD=90°
又∵DC=CO=1，∠DCO=90°∴DO=

2

∴∠PDO=45°
∴異面直線BE，PD所成角的大小為45°
（Ⅲ）作CH⊥PD于H，連接EH，CE

∵ED=CO=1，PE=PC= 3 ，DE=DC=1 ∴△PDE≌△PDC∴∠EDH=∠CDH

又∵DE=DC，DH=DH
∴△EDH≌△CDH
∴∠EHD=∠CHD=90°，CH=EH=

DC•PC

PD

=

1• 3

2

=

3

2

∴EH⊥PD∴∠EHC為二面角A-PD-C的平面角
在△CEH中，cos∠EHC=

CH2+EH2-CE2

2CH•EH

=-

1

3

∵∠EHC∈[0，π]∴sin∠EHC=

2 2

3

∴二面角A-PD-C的正弦值為

2 2

3

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，由三視圖求體積，異面直線及其所成的角，其中（1）的關鍵是由三視圖分析出幾何體的形狀及棱長，高等關鍵幾何量，（2）的關鍵是構造∠PDO即為異面直線BE，PD所成角，（3）的關鍵是找到二面角A-PD-C的平面角∠EHC．