Question

（理）在1，2，3，…，9這9個自然數(shù)中，任取3個數(shù)．
（1）求這3個數(shù)中恰有1個是偶數(shù)的概率；
（2）設(shè)ξ為這3個數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)（例如：若取出的數(shù)為1，2，3，則有兩組相鄰的數(shù)1，2和2，3，此時ξ的值是2）．求隨機變量ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望Eξ．
（文）為拉動經(jīng)濟增長，某市決定新建一批重點工程，分別為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類，這三類工程所含項目的個數(shù)分別占總數(shù)的

1

2

、

1

3

、

1

6

．現(xiàn)有3名工人獨立地從中任選一個項目參與建設(shè)．
（1）他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率；
（2）至少有1人選擇的項目屬于民生工程的概率．

Answer 1

分析：（理）（1）由題意知本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的所有事件是從9個數(shù)字中選3個，而滿足條件的事件是3個數(shù)恰有一個是偶數(shù)，即有一個偶數(shù)和兩個奇數(shù)．根據(jù)概率公式得到結(jié)果．
（2）隨機變量ξ為這三個數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)，則ξ的取值為0，1，2，當(dāng)變量為0時表示不包含相鄰的數(shù)，結(jié)合變量對應(yīng)的事件寫出概率和分布列，算出期望．
（文）（1）根據(jù)題意，首先設(shè)第i名工人選擇的項目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件A_i，B_i，C_i，i=1，2，3，且各個事件相互獨立，又由P（A_i）=

1

2

，P（B_i）=

1

3

，P（C_i）=

1

6

；進(jìn)而計算可得答案．
（2）由（1）的設(shè)法，分析可得，“至少有1人選擇的項目屬于民生工程”與“3人中沒有人選擇民生工程”為對立事件，先求得“3人中沒有人選擇民生工程”，進(jìn)而可得答案．

解答：（理）解：（1）記“這3個數(shù)恰有一個是偶數(shù)”為事件A，則P（A）=

C 1 4 C 2 5

C 3 9

=

10

21

；
（2）隨機變量ξ的取值為0，1，2，ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	5 12	1 2	1 12

所以ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ=0×

5

12

+1×

1

2

+2×

1

12

=

2

3

．
（文）解：記第i名工人選擇的項目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件A_i，B_i，C_i，i=1，2，3．由題意知A₁，A₂，A₃相互獨立，B₁，B₂，B₃相互獨立，C₁，C₂，C₃
相互獨立，A_i，B_j，C_k（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互獨立，
且P（A_i）=

1

2

，P（B_i）=

1

3

，p（C_i）=

1

6

（1）他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率
P=3!P（A₁B₂C₃）=6P（A₁）P（B₂）P（C₃）=6×

1

2

×

1

3

×

1

6

．
（2）至少有1人選擇的項目屬于民生工程的概率 
P=1-P（

.

B1

.

B2

.

B3

）=1-P（

.

B1

）P（

.

B2

）P（

.

B3

）=1-（1-

1

3

）3=

19

27

點評：（理）本題考查離散型隨機變量的分布列，求離散型隨機變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個問題，題目做起來不難，運算量也不大，只要注意解題格式就問題不大．
（文）本題考查相互獨立事件與對立事件的概率的計算，解題前，首先要明確事件之間的關(guān)系，進(jìn)而選擇對應(yīng)的公式運算．