Question

【題目】已知為坐標原點，拋物線在第一象限內的點到焦點的距離為，曲線在點處的切線交軸于點，直線經過點且垂直于軸.

（Ⅰ）求線段的長；

（Ⅱ）設不經過點和的動直線交曲線于點和，交于點，若直線的斜率依次成等差數列，試問：是否過定點？請說明理由．

Answer 1

【答案】（I）；（II）定點.

【解析】試題分析：（I）根據拋物線的定義，有，，所以拋物線方程為，.利用導數求得切線方程為，所以點的坐標為，線段的長為；（II）由題意可知的方程為，求得與交點坐標為，設，，聯立的方程和拋物線的方程，消去寫出根與系數關系.分別求出直線的斜率，由等差中項的性質列方程，化簡得，所以，故的方程為，即恒過定點.

試題解析：

（I）由拋物線在第一象限內的點到焦點的距離為，

得，，

拋物線的方程為，

在第一象限的圖象對應的函數解析式為，則，

故在點處的切線斜率為，切線的方程為，

令得，所以點的坐標為.

故線段的長為2.

（II）恒過定點，理由如下：

由題意可知的方程為，因為與相交，故.

由，令，得，故.

設，，

由消去得：，

則，.

直線的斜率為，同理直線的斜率為，

直線的斜率為.

因為直線的斜率依次成等差數列，

所以.

即.

整理得：，

因為不經過點，所以，

所以，即.

故的方程為，即恒過定點