Question

（2012•鹽城二模）已知函數f1(x)=e|x-2a+1|，f2(x)=e|x-a|+1，x∈R．
（1）若a=2，求f（x）=f₁（x）+f₂（x）在x∈[2，3]上的最小值；
（2）若x∈[a，+∞）時，f₂（x）≥f₁（x），求a的取值范圍；
（3）求函數g(x)=

f1(x)+f2(x)

2

-

|f1(x)-f2(x)|

2

在x∈[1，6]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）因為a=2，且x∈[2，3]，所以f（x）=e^|x-3|+e^|x-2|+1=e^3-x+e^x-1，利用基本不等式，可求在x∈[2，3]上的最小值；
（2）由題意知，當x∈[a，+∞） 時，e^|x-2a+1|≤e^|x-a|+1，即|x-2a+1|≤|x-a|+1 恒成立即2ax≥3a²-2a 對x∈[a，+∞） 恒成立，由此可求a的取值范圍；
（3）記h₁（x）=|x-（2a-1）|，h₂（x）=|x-a|+1，則h₁（x），h₂（x）的圖象分別是以（2a-1，0）和（a，1）為頂點開口向上的V型線，且射線的斜率均為±1，分類討論，即可求得g（x）在x∈[1，6]上的最小值．

解答：解：（1）因為a=2，且x∈[2，3]，所以f（x）=e^|x-3|+e^|x-2|+1=e^3-x+e^x-1=

e3

ex

+

ex

e

≥2

e3 ex × ex e

=2e，
當且僅當x=2時取等號，所以f（x）在x∈[2，3]上的最小值為2e …4分
（2）由題意知，當x∈[a，+∞） 時，e^|x-2a+1|≤e^|x-a|+1，即|x-2a+1|≤|x-a|+1 恒成立…6分
所以|x-2a+1|≤x-a+1，即2ax≥3a²-2a 對x∈[a，+∞） 恒成立，
則由

2a≥0 2a2≥3a2-2a

，得所求a的取值范圍是0≤a≤2…9分
（3）記h₁（x）=|x-（2a-1）|，h₂（x）=|x-a|+1，則h₁（x），h₂（x）的圖象分別是以（2a-1，0）和（a，1）為頂點開口向上的V型線，且射線的斜率均為±1．
①當1≤2a-1≤6，即1≤a≤

7

2

時，∴g（x）在x∈[1，6]上的最小值為f₁（2a-1）=e⁰=1…10分
②當a＜1時，可知2a-1＜a，所以
（ⅰ）當h₁（a）≤h₂（a），得|a-（2a-1）|≤1，即-2≤a≤0時，在x∈[1，6]上，h₁（x）＜h₂（x），即f₁（x）＞f₂（x），所以g（x）=f₂（x）的最小值為f₂（1）=e^2-a；
（ii）當h₁（a）＞h₂（a），得|a-（2a-1）|＞1，即a＜-2或0＜a＜1時，在x∈[1，6]上，h₁（x）＞h₂（x），即f₁（x）＜f₂（x），所以g（x）=f₁（x）的最小值為f₁（1）=e^3-2a；
③當a＞

7

2

時，因為2a-1＞a，可知2a-1＞6，且h₁（6）=2a-7＞a-5=h₂（6），所以
（ⅰ）當

7

2

＜a≤6時，g（x）的最小值為f₂（a）=e
（ii）當a＞6時，因為h₁（a）=a-1＞1=h₂（a），∴在x∈[1，6]上，h₁（x）＞h₂（x），即f₁（x）＜f₂（x），所以g（x）在x∈[1，6]上的最小值為f₂（6）=e^a-5…15分
綜上所述，函數g（x）在x∈[1，6]上的最小值為

1，1≤a≤ 7 2 e2-a，-2≤a≤0 e3-3a，a＜-2或0＜a＜1 e， 7 2 ＜a≤6 ea-5，a＞6

…16分

點評：本題考查函數最值的運用，考查恒成立問題，考查分類討論的數學思想，難度大，綜合性強．