Question

【題目】數列的前項和為，記，數列滿足，，且數列的前項和為.

（1）① 計算，的值；

② 猜想,滿足的關系式，并用數學歸納法加以證明；

（2）若數列通項公式為，證明：.

Answer 1

【答案】（1）①，；②，證明見解析；（2）見解析

【解析】

(1)①根據題中給的遞推公式直接計算,即可.

②由①中可知,,故猜想,再根據數學歸納法的方法證明即可.

(2)根據可求得,再利用(1)中的結論放縮可得,再構造函數證明其單調性,再累加證明即可.

（1）①,,

所以,.

②

.

猜想：. (也可以寫成)

1°當時,成立；

2°假設當時,成立,

當時,.

綜上1°,2°所述,.

（2）因,所以其前項和.

所以由（1）知.

令,則,所以在上單調遞減,

又,所以.令,所以,

即,

即,所以.

當時,,,……,,

上述個式子相加,得,

所以,則,即,故.