Question

（2012•資陽二模）已知函數f（x）=x³+3bx²+cx+bc-2b³（b，c∈R），函數g（x）=m[f（x）]²+p（其中m．p∈R，且mp＜0），給出下列結論：
①函數f（x）不可能是定義域上的單調函數；
②函數f（x）的圖象關于點（-b，0）對稱；
③函數g（x）=可能不存在零點（注：使關于x的方程g（x）=0的實數x叫做函數g（x）的零點）；
④關于x的方程g（x）=0的解集不可能為{-1，1，4，5}．
其中正確結論的序號為

②④

（寫出所有正確結論的序號）．

Answer 1

分析：①求導函數可得：f′（x）=3x²+6bx+c，當36b²-12c≤0時，f′（x）≥0，函數為增函數；
②驗證f（-x-2b）=-f（x）即可；
③函數g（x）=m[f（x）]²+p，∴g（x）=0時，[f（x）]²=-

p

m

，此方程一定有解；
④關于x的方程g（x）=0的解集，即f（x）=0的解集，根據函數f（x）的圖象關于點（-b，0）對稱，可得結論

解答：解：①求導函數可得：f′（x）=3x²+6bx+c，當36b²-12c≤0時，f′（x）≥0，函數為增函數，故①不正確；
②f（-x-2b）=（-x-2b）³+3b（-x-2b）²+c（-x-2b）+bc-2b³=-x³-3bx²-cx-bc+2b³=-f（x），∴函數f（x）的圖象關于點（-b，0）對稱；
③函數g（x）=m[f（x）]²+p，∴g（x）=0時，[f（x）]²=-

p

m

，此方程一定有解，∴函數g（x）=0存在零點，故③不正確；
④關于x的方程g（x）=0的解集，即f（x）=0的解集，根據函數f（x）的圖象關于點（-b，0）對稱，可得解集不可能為{-1，1，4，5}，故④正確
故答案為：②④

點評：本題考查命題的真假判斷，考查函數的性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．