Question

【題目】已知函數 .

（Ⅰ）若在區間上有極值，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）若有唯一的零點，試求的值.（注：為取整函數，表示不超過的最大整數，如；以下數據供參考：）

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).

【解析】

試題分析：（1）求出f（x）的導數，令h（x）=2x3﹣ax﹣2，x∈（0，+∞），求出導數，討論a的符號，判斷單調性，即可得到所求a的范圍；（2）由（1）可知：f（1）=3知x∈（0，1）時，f（x）＞0，則x0＞1，討論f（x）在x＞1的單調性，再由零點的定義和極值點的定義，可得x0的方程，構造函數，判斷單調性，由零點存在性定理知 t（2）＜0，t（3）＞0，即可得到所求值．

試題解析：

（Ⅰ）函數 的定義域為，

令，則，

當時，恒成立，在上為增函數，

又函數在內有一個零點，

且當時，時，，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

所以在區間內有極小值.

當時，，即時，恒成立，

函數在單調遞減，此時函數無極值，

綜上可得：在區間內有極值時實數的取值范圍是，

（Ⅱ）①當時，得，不滿足定義域，不存在.

②當時，由（Ⅰ）知：若有唯一的零點為極小值點，

所以，

③當時，函數的定義域為，

由（Ⅰ）可知：知時，

又在區間上只有一個極小值點記為，

且時，函數單調遞減，

時，，函數單調遞增，

由題意可知：即為，

消去可得：，

即，

令，則在區間上單調遞增，

又，

，

由零點存在性定理知

綜上可得：