Question

【題目】已知函數，其中.

（1）試討論函數的單調性；

（2）若，且函數有兩個零點，求實數的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）先求導，再根據定義域和根的大小，分， 兩種情況討論求解.

（2）根據（1），當時，的單調遞，故不存在兩個零點，當時，由（1）可知，要使函數有兩個零點，則需，即，令，研究其最大值，再結合，確定實數的最大值.

（1）∵，

∴，

當時，，此時的增區間為，

當時，由可得，此時的增區間為，減區間為，

綜上：當時，的單調遞增區間為，

當時，的單調遞減區間為，的單調遞增區間為.

（2）由（1）可知，當時，的單調遞增區間為，故不存在兩個零點，

當時，由（1）可知，

要使函數有兩個零點，則，

即，

即，

設，

∴，

∴為上的減函數，

又，，

∴，使，

∴時，，

時，，

∵，∴，

又∵，

∴，∴，

此時，

符合題意，

∴.