Question

若a＞0，b＞0，a+b=2，則下列不等式對一切滿足條件的a，b恒成立的個數是（　　）
①ab≤1；        ②

a

+

b

≤2；    ③a²+b²≥2；       ④a³+b³≥3；    ⑤

1

a

+

1

b

≥2．

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：題目給出了兩個和為常數2的正數a，b，我們可以借助于基本不等式及其變形式直接推導出其中①③⑤是正確的，②④可以通過舉反例說明不正確．

解答：解：由a＞0，b＞0，a+b=2，則ab≤(

a+b

2

)2=(

2

2

)2=1（當且僅當a=b=1時等號成立），所以，①正確；
由

a+b

2

≤

a2+b2 2

，所以，

a + b

2

≤

a+b 2

=

2 2

=1，所以，

a

+

b

≤2，所以，②正確；
由a2+b2=

2a2+2b2

2

≥

a2+2ab+b2

2

=

(a+b)2

2

=

22

2

=2（當且僅當a=b=1時等號成立），所以，③正確；
若a=b=1，滿足a＞0，b＞0，a+b=2，但a³+b³=1³+1³=2＜3，所以，④不正確；
因為

1

a

+

1

b

≥2

1 ab

=

2

ab

，而

ab

≤

a+b

2

=

2

2

=1，則

1

ab

≥1，
所以

1

a

+

1

b

≥

2

ab

≥2（當且僅當a=b=1時等號成立），所以，⑤正確．
所以，正確的是①②③⑤．
故選D．

點評：本題考查了基本不等式，考查了不等式的變形，考查了舉反例剔除法，運用基本不等式解決問題時一定要注意使用條件，此題是中檔題．